Question

已知函数f（x）=x，函数g（x）是反比例函数，且g（1）=2，令h（x）=f（x）-g（x）．
（1）求函数g（x），并证明函数h（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（2）解h（x）＞1．

Answer 1

分析：（1）由题意易得函数g（x）的解析式，进而可得h（x）的解析式，由单调性的定义可证明；（2）由h（x）=1得x=2或x=-1，由函数的单调性和奇偶性，可得解集．

解答：解：（1）设g(x)=

k2

x

，令g（1）=2，解得k₂=2
∴g(x)=

2

x

．------------------（2分）
依题意h(x)=x-

2

x

，设x₁＜x₂∈（0，+∞），
则h(x1)-h(x2)=x1-

2

x1

-(x2-

2

x2

)=
(x1-x2)+(

2

x2

-

2

x1

)=(x1-x2)+

2(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

2

x1x2

)＜0即h（x₁）＜h（x₂），
∴函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上是单调增函数．-------------（8分）
（2）由h（x）=1得x=2或x=-1，---------（10分）
又函数h（x）为奇函数，且在（0，+∞）上是单调增函数，
∴h（x）在（-∞，0）上也是单调增函数，-------------------（12分）
∴h（x）＞1的解集为（-1，0）∪（2，+∞）---------------（14分）

点评：本题考查函数单调性的判断和证明，以及函数奇偶性的应用，属基础题．