Question

10．设函数f（x）=$\sqrt{1+{2}^{x}+a•{4}^{x}}$
（1）若f（x）在区间（-∞，1]有意义，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的定义域是（-∞，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把若f（x）在区间（-∞，1]有意义，转化为x≤1时函数g（x）=1+2^x+a•4^x≥0恒成立，∴a≥$-（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$，利用配方法求出函数y=$-（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$的最大值得答案；
（2）由1+2^x+a•4^x≥0，得$（\frac{1}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+a≥0$，结合f（x）的定义域是（-∞，1]，可得$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}=1$，由此求得实数a的值．

解答 解：（1）若f（x）在区间（-∞，1]有意义，
则x≤1时函数g（x）=1+2^x+a•4^x≥0恒成立，∴a≥$-（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$，
函数y=$-（\frac{1}{4}）^{x}-（\frac{1}{2}）^{x}$=-$[（\frac{1}{2}）^{x}+\frac{1}{2}]^{2}$$+\frac{1}{4}$，
设t=$（\frac{1}{2}）^{x}$，则t≥$\frac{1}{2}$，此时函数y=-$（t+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$在t≥$\frac{1}{2}$上单调递减，
y≤-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$，此时x=1．
∴a≥-$\frac{3}{4}$．
∴实数a的取值范围[-$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）由1+2^x+a•4^x≥0，得$（\frac{1}{4}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{x}+a≥0$，
解得$（\frac{1}{2}）^{x}≤\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2}$（舍）或$（\frac{1}{2}）^{x}≥\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}$，
∵f（x）的定义域是（-∞，1]，
∴x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2}=1$，解得：a=$-\frac{3}{4}$．
∴实数a的值为$-\frac{3}{4}$．

点评 本题考查对数函数的定义域、不等式恒成立问题，考查换元法和转化思想，关键是区分f（x）在区间（-∞，1]有意义与f（x）的定义域是（-∞，1]，是中档题也是易错题．