Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足3S_n=4014+a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设f（n）表示该数列的前n项的积，n取何值时，f（n）有最大值？

Answer 1

解：（1）∵n=1时，3a₁=4014+a₁，得a₁=2007n≥2时，3S_n=4014+a_n，3S_n-1=4014+a_n-1，
两式相减得：3a_n=a_n-a_n-1
即：∴数列{a_n}为首项a₁=2007，公比为的等比数列，∴．
（2）∵=，
∴
∴当n≤10时，，当n＞10时，．
∴|f（1）|＜|f（x）|＜…＜|f（10）|，|f（11）|＞|f（12）|＞|f（13）|＞…
又∵，，
（或从f（11）共6正5负相乘，f（10）共5正5负相乘，f（9）共5正4负相乘，f（12）共6正6负相乘也可判断符号）
∴只需比较f（9）与f（12）的大小，就可以确定f（n）的最大值，
又∵，∴f（12）＞f（9），
综上：n=12时，f（n）有最大值．
分析：（1）n=1，求a₁，n≥2，求得，数列{a_n}的通项公式可求；
（2）由题意可求得，，，分与讨论n的取值情况，并对
f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐项判断其正负后比较其大小．
点评：本题考查数列递推公式，难点在于得到当n≤10时，，当n＞10时，，需要对f（9）、f（10）、f（11）、f（12）逐项判断其正负，并在同正条件下作商比较，属于难题．