Question

已知函数f（x）=ax²-（a+1）x+1，g（x）=e^x，其中a∈R，集合A={x||x-t|＜}．
（1）当a=-2时，记集合B={x|f（x）＞0}，若A⊆B，求实数t的取值范围；
（2）若F（x）=[f（x）+a-1]•g（x），当a≠0时，求函数F（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=-2时，f（x）=-2x²+x+1，先化简集合B和A，因为A⊆B，得出关于t的不等关系：，解得实数t的取值范围即可；
（2）先求导数fˊ（x），求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，从而的函数f（x）的单调区间以及函数的极值，fˊ（x）＞0的区间是增区间，fˊ（x）＜0的区间是减区间．
解答：解：（1）当a=-2时，f（x）=-2x²+x+1，B={x|-2x²+x+1＞0}={x|-＜x＜1}，
A={x||x-t|＜}={x|t-＜x＜+t}，
因为A⊆B，所以，解得0≤t≤，
所以实数t的取值范围是[0，]．
（2）F（x）=[ax²-（a+1）x+a]e^x，
F′（x）=[ax²+（a-1）x-1]e^x=a（x-）（x+1）e^x，
令F′（x）=0，解得x=，或x=-1．
以下分四种情况讨论：
（ⅰ）当a＞0时，则-1＜．当x变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，）		（，+∞）
F′（x）	+		-		+
F（x）	?↗	极大值	↘?	极小值	?↗

所以函数F（x）在（-∞，-1），（，+∞）内是增函数，在（-1，）内是减函数．
函数F（x）在x=-1处取得极大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=处取得极小值F（），且F（）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅱ）当-1＜a＜0时，则＜-1，当x变化时，F′（x），F（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，）		（，-1）	-1	（-1，+∞）
F′（x）	-		+		-
F（x）	?↘	极小值	?↗	极大值	?↘

所以函数F（x）在（-∞，），（-1，+∞）内是减函数，在（，-1）内是增函数．
函数F（x）在x=-1处取得极大值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=处取得极小值F（），且F（）=（a-1）e^{＜/sup＞f（1，a）＜sup＞}．
（ⅲ）当a=-1时，F′（x）＜0，所以函数F（x）在R上是减函数，无极值．
所以函数F（x）在（-∞，-1），（，+∞）内是减函数，在（-1，）内是增函数．
函数F（x）在x=-1处取得极小值F（-1），且F（-1）=（3a+1）e^-1；函数F（x）在x=处取得极大值F（），且F（）=（a-1）e．
点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用、函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．