题目内容
已知函数f(x)=
x3+
ax2-2a2x．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
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（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
分析：（Ⅰ）求出导函数，令导数值为0，求出x的值，代入验证极值点左右两边的导数符号是否相反．
（Ⅱ）令导函数等于0求出根，通过讨论a的范围确定出两个根的大小，将f'（x）与f（x）的变化规律列表，即可得到函数的单调区间．
（Ⅱ）令导函数等于0求出根，通过讨论a的范围确定出两个根的大小，将f'（x）与f（x）的变化规律列表，即可得到函数的单调区间．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=
x3+
x2-2x，
所以f'（x）=x2+x-2，
令f'（x）=0得，x1=-2，x2=1，
f'（x）与f（x）变化规律如下表：
所以函数f（x）的极大值点为-2，极小值点为1．
（Ⅱ）f'（x）=x2+ax-2a2
令f'（x）=0，得x1=-2a，x2=a．
（1）当a=0时，f'（x）=x2≥0，f（x）在的单调递增区间为（-∞，+∞）
（2）当a＞0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：
所以f（x）的增区间是（-∞，-2a）和（a，+∞），减区间是（-2a，a）
（3）当a＜0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：
所以f（x）的增区间是（-∞，a）和（-2a，+∞），减区间是（a，-2a）
综上所述，当a=0时，f'（x）=x2≥0，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）的增区间是（-∞，-2a）和（a，+∞），减区间是（-2a，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间是（-∞，a）和（-2a，+∞），减区间是（a，-2a）
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所以f'（x）=x2+x-2，
令f'（x）=0得，x1=-2，x2=1，
f'（x）与f（x）变化规律如下表：
| x | （-∞，-2） | -2 | （-2，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
（Ⅱ）f'（x）=x2+ax-2a2
令f'（x）=0，得x1=-2a，x2=a．
（1）当a=0时，f'（x）=x2≥0，f（x）在的单调递增区间为（-∞，+∞）
（2）当a＞0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：
| x | （-∞，-2a） | -2a | （-2a，a） | a | （a，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
（3）当a＜0时，f'（x）与f（x）变化规律如下表：
| x | （-∞，a） | a | （a，-2a） | -2a | （-2a，+∞） |
| f'（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
综上所述，当a=0时，f'（x）=x2≥0，f（x）在R上单调递增；
当a＞0时，f（x）的增区间是（-∞，-2a）和（a，+∞），减区间是（-2a，a）；
当a＜0时，f（x）的增区间是（-∞，a）和（-2a，+∞），减区间是（a，-2a）
点评：利用导数求函数的极值问题，要注意极值点处的导数为0是函数有极值的必要不充分条件；利用导数判断函数的单调区间，导函数大于0求出单调递增区间；导函数小于0求出单调递减区间．
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