Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设bn=

1

an+1

-1（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通项公式；
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）由a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），分别令n=2，3，能够求出a₃，a₄．
（2）当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

=

n(an-1)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，利用累乘法能够求出{a_n}的通项公式．
（3）当k≥2时，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-5)(3k-2)

=

1

3

(

1

3k-5

-

1

3k-2

)，利用裂项求和法能够证明

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

．

解答：解：（1）∵a₁=1，a2=

1

4

，且an+1=

(n-1)an

n-an

（n=2，3，4，…），
∴a3=

(2-1)× 1 4

2- 1 4

=

1

7

，
a4=

(3-1)× 1 7

3- 1 7

=

1

10

．
（2）当n≥2时，

1

an+1

-1=

n-an

(n-1)an

=

n(an-1)

(n-1)an

=

n

n-1

(

1

an

-1)，
累乘得

1

an+1

-1=n(

1

a2

-1)．
整理得当n≥2时，an+1=

1

3n+1

，即an=

1

3n-2

．
又n=1时也成立，故an=

1

3n-2

，n∈N^*．
（3）当k≥2时，有ak2=

1

(3k-2)2

＜

1

(3k-5)(3k-2)

=

1

3

(

1

3k-5

-

1

3k-2

)，
所以

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

＜

1

3

(1-

1

3n-2

)＜

1

3

．

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．