Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，

an+1

2n+1

=

an

2n

+3，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由

an+1

2n+1

=

an

2n

+3，知

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，由此能求出a_n=（3n-2）•2ⁿ．
（2）由a_n=（3n-2）•2ⁿ，知数列{a_n}的前n项和：T_n=（3-2）•2+（3×2-2）•2²+（3×3-2）•2³+…+（3n-2）•3ⁿ，由此利用错位相减法能够求出T_n．

解答：解：（1）∵

an+1

2n+1

=

an

2n

+3，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=3，
∵a₁=2，∴{

an

2n

}是以

a1

21

=1为首项，以3为公差的等差数列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×3=3n-2，
∴a_n=（3n-2）•2ⁿ．
（2）∵a_n=（3n-2）•2ⁿ，
∴数列{a_n}的前n项和：
T_n=（3-2）•2+（3×2-2）•2²+（3×3-2）•2³+…+（3n-2）•3ⁿ，①
2T_n=（3-2）•2²+（3×2-2）•2³+（3×3-2）•2⁴+…+（3n-2）•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得-T_n=2+3•2²+3•2³+3•2⁴+…+3•2ⁿ-（3n-2）•3ⁿ⁺¹
=2+3×

4(1-2n-2)

1-2

-（3n-2）•3ⁿ⁺¹
=2+3（2ⁿ-4）-（3n-2）•3ⁿ⁺¹
=3•2ⁿ-10-（3n-2）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=（3n-2）•3ⁿ⁺¹-3•2ⁿ+10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减法的合理运用．