Question

（2007•潍坊二模）某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行．根据以往经验，每局甲赢的概率为

1

2

，乙赢的概率为

1

3

，且每局比赛输赢互不受影响．若甲第n局赢、平、输的得分分别记为a_n=2、a_n=1、a_n=0n∈N^*，1≤n≤5，令S_n=a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求S₃=5的概率；
（Ⅱ）若随机变量ξ满足S_ξ=7（ξ表示局数），求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（I）S₃=5，即前3局甲2胜1平，由独立重复试验的概率求解即可．
（II）S_ξ=7时，表示甲的得分之和为7，故ξ=4，5，且最后一局甲赢，已的得分之和不超过5，
ξ=4时前三局中赢两局平一局，第四局赢；
ξ=5时前四局中甲赢两局平一局输一局或赢一局平三局，第五局赢．
 利用独立重复试验的概率分别求概率，列出分布列，再由期望的公式求期望即可．

解答：解：（I）S₃=5，即前3局甲2胜1平．
由已知甲赢的概率为

1

2

，平的概率为

1

6

，输的概率为

1

3

，
得S₃=5得概率为

C

2 3

(

1

2

)2•

1

6

=

1

8

．
（II）S_ξ=7时，ξ=4，5，且最后一局甲赢，
P(ξ=4)=

C

1 3

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

1

16

；
P(ξ=5)=

C

1 4

(

1

2

)(

1

6

)3(

1

2

)+

C

1 3

(

1

3

)

C

1 3

(

1

6

)(

1

2

)2(

1

2

)=

1

216

+

1

12

=

19

216

．
ξ的分布列为

∴Eξ=4×

1

16

+5×

1

216

=

149

216

点评：本题考查独立重复试验的概率，考查分析问题、解决问题的能力．