Question

（2011•朝阳区三模）已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx-

3

2

（x∈R）．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）若x∈(0，

π

2

)，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用函数的表达式，求解f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）利用二倍角公式，两角差的正弦函数，化简函数的表达式，通过x∈(0，

π

2

)，结合三角函数的有界性直接求出函数f（x）的最大值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f(

π

4

)=

3

sin2

π

4

+sin

π

4

cos

π

4

-

3

2

=

1

2

．     …（4分）
（Ⅱ）f(x)=

3 (1-cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)．   …（6分）
∵0＜x＜

π

2

，
∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

．
∴当2x-

π

3

=

π

2

时，即x=

5π

12

时，f（x）的最大值为1． …（8分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式与两角差的三角函数的应用，三角函数的有界性的应用，考查计算能力．