Question

（本题14分）已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值.

Answer 1

已知函数，.

（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；

（2）当时，求函数在区间上的最大值和最小值.

解：(Ⅰ)

          =

          =.                               --------------4分 

   ∵曲线在点处的切线垂直于y轴，

   由导数的几何意义得，

      ∴.                                              ---------------6分   

(Ⅱ)令，解得或.

       ∵，∴.

      当变化时，与的变化情况如下表：

		0		0
	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

    

函数在和上单调递增；在上单调递减；

                         ----------------8分

当，即 时，函数在上为减函数.

  ,     .          ---------------10分     

当，即 时，函数的极小值为上的最小值，

 ∴ .

函数在上的最大值为与中的较大者.

∵，.

∴当时，，此时；

当时，，此时；

当时，，此时.     -------------13分

综上，

当时，的最小值为，最大值为；

当时，的最小值为，最大值为；

  当时，的最小值为，最大值为.        ------14分