Question

已知数列{a_n}的前n项为和S_n，点在直线上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为T_n，求使不等式对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点在直线上可得到整理可得到．，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n的表达式，再对n=1时进行验证即可得到数列{a_n}的通项公式；根据b_n+2-2b_n+1+b_n=0可转化为b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n得到{b_n}为等差数列，即可求出{b_n}的通项公式．
（2）将（1）中的{a_n}、{b_n}的通项公式代入到{c_n}中然后进行裂项，可得到前n项和，进而可确定T_n的表达式，然后作差可验证T_n单调递增，求出T_n的最小值，然后令最小值大于求出k即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意，得．
故当．
注意到n=1时，a₁=S₁=6，而当n=1，n+5=6，
所以，a_n=n+5（n∈N^*）．
又b_n+2-2b_n+1+b_n=0，即b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N^*），
所以{b_n}为等差数列，于是．
而，
因此，b_n=b₃+3（n-3）=3n+2，即b_n=3n+2（n∈N^*）．
（Ⅱ）
=．
所以，
=．
由于，
因此T_n单调递增，故．
令．
点评：本题主要考查数列的裂项法和求数列通项公式的方法．考查综合运用能力．