Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*），且满足

n

i=1

a_i（a_i-1）＜m（m为常数，且为整数）．
（1）求证：为{

1

a

-1}等比数列；
（2）求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）由递推式a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*）的结构特点，可以转化为

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，构造得出等比数列{

1

an

-1}
（2）通过数列{

1

an

-1}的通项公式求出a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，3，…），利用放缩法求的2≤

n

i=1

a_i（a_i-1）≤3，故m的最小值为3．

解答：解：（1）由a_n+1=

2an

an+1

（n∈N^*），得

1

an+1

=

1

2

+

1

2an

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又

1

a1

-1=-

1

2

，
所以数列{

1

an

-1}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
（2）由（1）得

1

an

-1=-

1

2

•(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

，故a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

（i=1，2，3，…）
当i≥2时，a_i（a_i-1）=

2i

(2i-1)2

＜

2i

(2i-1)(2i-2)

=

2i-1

(2i-1)(2i-1-1)

=

1

2i-1-1

-

1

2i-1

，
故

n

i=1

a_i（a_i-1）=

n

i=1

2i

(2i-1)2

＜

21

(21-1)2

+

n

i=2

(

1

2i-1-1

-

1

2i-1

)=3-

1

2n-1

＜3，
又

n

i=1

a_i（a_i-1）=

n

i=1

2i

(2i-1)2

≥

21

(21-1)2

=2，
故m的最小值为3．

点评：本题考查数列的递推公式和通项公式，不等式恒成立问题，考查转化构造、放缩的解题和证明方法．