题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若 $数学公式$ ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
a²=b²+c²，
解得 $\text{[math]}$ ，c=1，
所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∴k₁•k₂为定值 $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）设M（x，y），其中 $\text{[math]}$ ．
由已知 $\text{[math]}$ 及点P在椭圆C上可得 $\text{[math]}$ ，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ 时，化简得y²=6，
所以点M的轨迹方程为 $\text{[math]}$ ，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当 $\text{[math]}$ 时，方程变形为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足 $\text{[math]}$ 的部分；
当 $\text{[math]}$ 时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足 $\text{[math]}$ 的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆
分析：（I）写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，将a，b的值代入椭圆的方程即可．
（II）设出P的坐标，将其代入椭圆的方程得到P的坐标的关系，写出A，B的坐标，利用两点连线的斜率公式求出
k₁，k₂，将P的坐标的关系代入k₁k₂化简求出其值．
（III）设出M的坐标，求出P的坐标，利用两点的距离公式将已知的几何条件用坐标表示，通过对参数λ的讨论，判断出M的轨迹．
点评：求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般设出直线方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个未知数，得到关于一个未知数的二次方程，利用韦达定理，找突破口．注意设直线方程时，一定要讨论直线的斜率是否存在．