Question

已知函数f（x）=lnx-x+ax²．
（I）试确定实数a的取值范围，使得函数f（x）在定义域内是单调函数；
（II）证明：＞．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）使得函数f（x）在定义域内是单调函数，则有f′（x）≥0或f′（x）≤0在定义域内恒成立，由此可求a的范围；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）问结论，令a=1，此时f（x）＜0对x∈（0，1）恒成立，由此构造不等式，再令x=，对进行放缩变形即可．
解答：（Ⅰ）解：定义域为（0，+∞）．f′（x）==．
令g（x）=2ax²-x+1，
∵g（0）=1，∴g（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即对x∈∈（0，+∞）恒成立．
令h（x）==-=-．
∴a≥，此时f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数．
（Ⅱ）证明：取a=1，由（Ⅰ）知此时f（x）在（0，1）上为单调递增函数．
∵f（1）=0，∴f（x）＜0对x∈（0，1）恒成立，即x-lnx＞x²．
取x=，∵∈（0，1），∴．
∴＞＞==-=．
点评：本题考查导数的应用，一是研究函数单调性，二是证明不等式，证明不等式的关键是利用条件恰当构造不等式，对能力要求较高．