题目内容

已知直线l:kx-y+2-k=0，双曲线C：x2-2y2=4，当k为何值时：

（1）l与C无共点；

（2）l与C有唯一公共点；

（3）l与C有两个不同的公共点.

思路解析：直线与双曲线公共点的个数就是直线与双曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k的取值.

解：（1）将直线与双曲线方程联立

消去y,得

（1-4k2）x2-8k(2-k)x-4(k2-4k+5)=0.    ①

要使l与C无公共点，即方程无实数解，于是有Δ＜0，

即64k2(2-k)2+16(1-4k2)(k2-4k+5)＜0.

解得k＞或k＜.

故当k＞或k＜时，l与C无公共点.

（2）当1-4k2=0,即k=±时，显然方程①只有一解；

又当Δ=0时，即k=时，方程①只有一解.

故当k=±或k=时，l与C有唯一公共点.

（3）当（1-4k2）≠0且Δ＞0时，方程有两解，即l与C有两个公共点，于是可得

＜k＜且k≠±.

深化升华

    直线l:y=kx+m(m≠0),双曲线C：-=1,消去y得（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.则当b2-a2k2=0时，即k=±，l与C只有一个公共点；当b2-a2k2≠0时，Δ＞0l与C有两个公共点；Δ=0l与C只有一个公共点；Δ＜0l与C没有公共点.

练习册系列答案
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条件．
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GQ
•
NP
=0
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（2013•海淀区一模）已知圆M：（x-
2
）2+y2=
7
3
，若椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
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2
2
．
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