Question

等差数列{a_n}中，若其前n项的和S_n=

m

n

，前m项的和S_m=

n

m

（m≠n，m，n∈N^*），则（　　）

A．S_m+n＞4

B．S_m+n＜-4

C．S_m+n=4

D．-4＜S_m+n＜-2

Answer 1

分析：先根据等差数列的前n项的和公式是关于n的二次函数，设：S_n=an²+bn，再根据已知条件求出b，代入所求并结合基本不等式即可得到结论．

解答：解：因为等差数列的前n项的和公式是关于n的二次函数，
故可设：S_n=an²+bn
所以Sn=an2+bn=

m

n

 ①
S_m=am²+bm=

n

m

   ②．
①-②：S_n-S_m=a（n²-m²）+b（n-m）=

m

n

-

n

m

⇒b=

(m+n)•(-1)

mn

-a(m+n)
∴S_m+n=a（m+n）²+b（m+n）=-

(m+n)2

mn

=-

m2+n2

mn

-2≤-4．
又因为m≠n
∴S_m+n＜-4．
故选B．

点评：本题考查等差数列的前n项的和公式以及基本不等式，通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯．