题目内容

若函数f（x）=2sin（ωx+φ）+m，对任意实数t，都有f(
π
8
+t)=f(
π
8
-t)，且f(
π
8
)=-3，则实数m的值等于
-5或-1
-5或-1
．
分析：由题意可得可知x=
π
8
是该函数的一条对称轴，sin（ω
π
8
+φ）=1或-1．再由由f(
π
8
)=-3可得 2sin（ω
π
8
+φ）+m=-3，从而得到2+m=-3 或-2+m=-3，由此求得实数m的值．
解答：解：由f(
π
8
+t)=f(
π
8
-t)可知x=
π
8
是该函数的一条对称轴，
故当x=
π
8
时，sin（ωx+φ）=1或-1，即sin（ω
π
8
+φ）=1或-1．
  又由f(
π
8
)=-3可得 2sin（ω
π
8
+φ）+m=-3，
∴2+m=-3 或-2+m=-3，∴m=-5或-1．
故答案为-5或-1．
点评：本题考查三角函数的图象与性质，正弦函数的对称性，得到2+m=-3 或-2+m=-3，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
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12、定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且为奇函数，若实数s，t满足不等式f（s2-2s）≥-f（2t-t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（　　）
定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2）．则当1≤s≤4时，
t
s
的取值范围是（　　）
A、[-
1
2
，1)
B、[-
1
4
，1)
C、[-
1
2
，1]
D、[-
1
4
，1]
12、定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s）≥-f（2t-t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（　　）
定义在R上的函数y=f（x）是减函数，y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），则当1≤s≤4时，
t
s
的取值范围是
[-
1
2
，1]
[-
1
2
，1]
．
定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且函数y=f（x-1）的图象关于（1，0）成中心对称，若实数s满足不等式f（s2-2s）+f（2-s）≤0，则s的取值范围是
（-∞，1]∪[2，+∞）
（-∞，1]∪[2，+∞）
．

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