题目内容

（14分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

（1）用表示，并求的最大值；

（2）判断当时，的大小，并证明．

 

【答案】

（1）．

（2）．证明见解析。

【解析】(I)设公共点为,然后利用导数求出此点处的切线，根据切线重合.解出切点的横坐标，从而可找到b关于a的表达式.然后再利用导数研究其最值即可.

（2）本小题可构造函数，然后利用导数研究其最值，从而比较出f(x)与g(x)的大小关系.

（1）设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，则．于是

当，即时，；当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

（2）设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是.

故当时，有，即当时，．

 

练习册系列答案
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已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥
3
-1，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．
已知定义在正实数集上的函数f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．
已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f(
12
)=1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为
 
．
已知定义在正实数集上的连续函数f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，则实数a的值为
 
．
（2009•河西区二模）已知定义在正实数集上的函数f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线x=f（x）与f=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（I）若a=1，求两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点处的切线方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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