Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）证明：当时，函数没有零点（提示：）．

Answer 1

【答案】(1）单调增区间为，单调减区间为，极小值为；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1）对函数进行化简求导得．利用导数工具可得：当时，取得极小值；（2）由（1）可知取得极小值，亦即最小值为：

，又，设，利用导数工具得有唯一的零点，使得在上单调递增，在上单调递减．又由于恒成立恒成立恒成立当时，函数没有零点．

试题解析：(1）因为，

所以．

因为，所以当时，，当时，．

所以函数的单调增区间为，单调减区间为．

当时，取得极小值．

（2）由（1）可知：当时，取得极小值，亦即最小值．

，又因为，所以，

设，则．

因为在上单调递减，且，

所以有唯一的零点，使得在上单调递增，在上单调递减．

又由于．

所以恒成立，从而恒成立，则恒成立．

所以当时，函数没有零点．