题目内容
若非零不共线向量
、
满足|
-
|=|
|，则下列结论正确的个数是
①向量
、
的夹角恒为锐角； ②2|
|2＞
•
； ③|2
|＞|
-2
|； ④|2
|＜|2
-
|．
| a |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
. |
| b |
3
3
．①向量
| a |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
| a |
| a |
. |
| b |
分析：对于①，利用已知条件，推出向量
、
、
-
组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可．
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误． 对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2
|＜|2
-
|等价于 4|
|cos＜
，
＞＜|
|，不一定成立，说明正误即可．
| a |
. |
| b |
| a |
| b |
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误． 对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2
| a |
| a |
. |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
解答：解：∵非零不共线向量
、
满足|
-
|=|
|，∴向量
、
、
-
组成的三角形是等腰三角形，
且向量
为底边，故向量
、
的夹角恒为锐角，①正确．
②2|
|2＞
•
等价于2|
|2＞|
|•|
|•cos＜
，
＞，等价于2|
|＞|
|•cos＜
，
＞．
而由|
-
|=|
|可得|
-
|+|
|=2|
|＞|
|＞|
|•cos＜
，
＞，即 2|
|＞|
|•cos＜
，
＞成立，
故②正确．
③|2
|＞|
-2
|等价于 4
2＞
2-4
•
+4
2，等价于 4
•
＞
2，
等价于 4|
|•|
|cos＜
，
＞＞
2，等价于 4|
|cos＜
，
＞＞|
|．
而 2|
|cos＜
，
＞=|
|，∴4|
|cos＜
，
＞＞|
|成立，故正确．
④|2
|＜|2
-
|等价于 4
2＜4
2-4
•
+
2，等价于 4
•
＜
2，
等价于 4|
|cos＜
，
＞＜|
|，不一定成立，所以④不正确．
故答案为 3．
| a |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
| a |
| b |
且向量
| a |
| a |
. |
| b |
②2|
. |
| b |
| a |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
而由|
| a |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
. |
| b |
. |
| b |
. |
| b |
| a |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
故②正确．
③|2
. |
| b |
| a |
. |
| b |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| a |
等价于 4|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
而 2|
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
④|2
| a |
| a |
. |
| b |
| a |
| a |
| a |
| b |
| b |
| a |
| b |
| b |
等价于 4|
| a |
| a |
| b |
| b |
故答案为 3．
点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
、
满足|
-
|=|
|，则下列结论正确的个数是（ ）
、
的夹角恒为锐角；
|2＞
•
；
|＞|
-2
|；
|＜|2
-
|．