题目内容
给出下列命题：（1）等比数列{an}的公比为q，则“q＞1”是“
”的既不充分也不必要条件；（2）“x≠1”是“x2≠1”的必要不充分条件；
（3）函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则实数-2＜a＜2；
（4）“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充要条件．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】分析：根据等比数列的性质及递增数列的定义，结合充要条件的定义可判断（1）的真假；
分别判断“x≠1”⇒“x2≠1”与“x2≠1”⇒“x≠1”的真假，结合充要条件的定义可判断（2）的真假；
根据函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则真数可取任意正数，其最小值不大于0，求出a的范围，可判断（3）的真假；
根据倍角公式及三角函数的周期，结合充要条件的定义可判断（4）的真假；
解答：解：若首项为负，则公比q＞1时，数列为递减数列
，当
时，包含首项为正，公比q＞1和首项为负，公比0＜q＜1两种情况，故（1）正确；
“x≠1”时，“x2≠1”在x=-1时成立，“x2≠1”时，“x≠1”一定成立，故（2）正确
函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则x2+ax+1=0的△=a2-4≥0，解得-2≤a≤2，故（3）错误；
“a=1”时，“函数y=cos2x-sin2x=cos2x的最小正周期为π”，但“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”时，“a=±1”，故“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故（4）错误
故选B
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了充要条件的定义，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是解答的关键．
分别判断“x≠1”⇒“x2≠1”与“x2≠1”⇒“x≠1”的真假，结合充要条件的定义可判断（2）的真假；
根据函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则真数可取任意正数，其最小值不大于0，求出a的范围，可判断（3）的真假；
根据倍角公式及三角函数的周期，结合充要条件的定义可判断（4）的真假；
解答：解：若首项为负，则公比q＞1时，数列为递减数列
，当
时，包含首项为正，公比q＞1和首项为负，公比0＜q＜1两种情况，故（1）正确；“x≠1”时，“x2≠1”在x=-1时成立，“x2≠1”时，“x≠1”一定成立，故（2）正确
函数的y=lg（x2+ax+1）的值域为R，则x2+ax+1=0的△=a2-4≥0，解得-2≤a≤2，故（3）错误；
“a=1”时，“函数y=cos2x-sin2x=cos2x的最小正周期为π”，但“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”时，“a=±1”，故“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故（4）错误
故选B
点评：本题以命题的真假判断为载体考查了充要条件的定义，熟练掌握充要条件的定义及证明方法是解答的关键．
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