Question

已知幂函数y=f（x）的图象经过点(2，

2

)．
（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用幂函数的形式设出其方程，将点的坐标代入求出解析式．
（2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性．关键是将函数值的差变形．

解答：解：（1）依题意设y=x^α，
∵函数y=f（x）的图象经过点(2，

2

)，
∴

2

=2α，∴α=

1

2

，∴f(x)=x

1

2

，
由f(x)=x

1

2

=

x

可知：f（x）的定义域为[0，+∞）
（2）函数f（x）在[0，+∞）上是增函数；
证明：任取x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

-

x2

=

( x1 - x2 )( x1 + x2)

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵x₁-x₂＜0，

x1

+

x2

＞0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f(x)=

x

在[0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查利用待定系数法求模型已知的函数的解析式；利用函数单调性的定义证明函数的单调性．