Question

12．经过双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦点F₂作的直线．与双曲线交于A、B两点．|AB|=3．求直线AB的方程．

Answer 1

分析 根据题意，求得a、b的值，根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，可得符合条件的直线方程，综合可得答案．

解答 解：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1中，则a=1，b=$\sqrt{3}$，c=2；
若AB只与双曲线右支相交时，|AB|的最小距离是通径，长度为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=6，不符合条件；
若AB与双曲线的两支都相交时，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
直线AB的方程为：y=k（x-2），|k|$＜\sqrt{3}$代入双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1后整理得：（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，
则|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\frac{\sqrt{36{k}^{2}+36}}{3-{k}^{2}}$=$\frac{6（1{+k}^{2}）}{3-{k}^{2}}$=3．
解得：k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故直线AB的方程为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）或y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2）

点评 本题考查直线与双曲线的关系，解题时可以结合双曲线的几何性质，分析直线与双曲线的相交的情况，从而求解；