Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值为

-1

．

Answer 1

分析：由导数的几何意义先求切线的斜率k，可得过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得x_n，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=（n+1）xⁿ，
设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得x_n=

n

n+1

，
∴x₁•x₂…x₂₀₁₀=

1

2

×

2

3

×…×

2010

2011

=

1

2011

，
∴log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀
=log₂₀₁₁（x₁×x₂×…×x₂₀₁₀）
=log2011

1

2011

=-1．
故答案为：-1．

点评：本题考查导数的几何意义及过某一定点的切线方程，考查对数的运算法则，解题的关键是正确运用对数的运算法则．