Question

如图3-2，铁路线上AB段长100千米，工厂C到铁路的距离CA为20千米.现要在AB上某一点D处向C修一条公路，已知铁路每吨千米的运费与公路每吨千米的运费之比为3∶5.为了使原料从供应站B运到工厂C的运费最少，D点应选在何处?

   

Answer 1

思路分析：据题设知，单位距离的公路运费大于铁路运费，又知|BD|+|DC|≤|BA|+|AC|，因此只有点D选在线段BA上某一适当位置，才能使总运费最省.若设D点距A点x千米，从B到C的总动费为y，建立y与x的函数，则通过函数y=f(x)的最小值，可确定点D的位置.

    解：设|DA|=x(千米)，铁路每吨千米运费3a，公路每吨千米运费5a，从B到C的总费用为y，则依题意，得

    y=3a(100-x)+5a，x∈(0，100)，

    即=5-3x.

    令t=，则有t+3x=5.

    平方、整理，得16x²-6tx+10000-t²=0.①

    由①36t²-4×16(10000-t²)≥0，得|t|≥80.

    ∵t＞0，∴t≥80.

    将t=80代入方程①，得x=15，这时t最小，y也最小.

    故当D点选在距A点15千米处时，总运费最省.