Question

8．设锐角△ABC的面积为1，边AB，AC的中点分别为E，F，P为线段EF上的动点，则$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件求得，△PBC的面积等于$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=$\frac{1}{sin∠BPC}$．由余弦定理求得BC²的值，再利用基本不等式求得$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$≥$\frac{4-2cos∠BPC}{sin∠BPC}$．再利用辅助角公式求得y=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$ 的最小值，即可得到$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$的最小值．

解答 解：∵E、F是AB、AC的中点，∴EF到BC的距离等于点A到BC的距离的一半．
∴△ABC的面积等于2△PBC的面积，而△ABC的面积等于1，∴△PBC的面积等于$\frac{1}{2}$．
又△PBC的面积为$\frac{1}{2}$PB×PC×sin∠BPC=$\frac{1}{2}$，∴PB×PC=$\frac{1}{sin∠BPC}$．
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=PB×PC×cos∠BPC=$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
由余弦定理，有：BC²=BP²+CP²-2BP×CP×cos∠BPC．
显然，BP、CP都是正数，∴BP²+CP²≥2BP×CP，
∴BC²≥2BP×CP-2BP×CP×cos∠BPC=2•$\frac{1}{sin∠BPC}$-2•$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$+${\overrightarrow{BC}}^{2}$≥$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$+2•$\frac{1}{sin∠BPC}$-2•$\frac{cos∠BPC}{sin∠BPC}$=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$．
令y=$\frac{2-cos∠BPC}{sin∠BPC}$，则y•sin∠BPC+cos∠BPC=2，
即 $\sqrt{{y}^{2}+1}$•sin（∠BPC+θ）=2，其中tanθ=$\frac{1}{y}$，
∴sin（∠BPC+θ）=$\frac{2}{\sqrt{{y}^{2}+1}}$≤1，∴y≥$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}$最小值为$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查三角形面积的计算，考查辅助角公式的应用，综合性强，属于中档题．