Question

设f（x）=ax²+2（b+1）x，g（x）=2x-c，其中a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）求证：；
（2）求证：函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点
（3）设f（x）与g（x）图象的两个不同交点为A、B，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a＞b＞c，a+b+c=0可知a＞0，c＜0，b=-a-c，由a＞b＞c得，从而可求
（2）要证函数f（x）与g（x）的图象有两个不同的交点，只要证ax²+2bx+c=0 有2个根，只要证明△=4b²-4ac＞0即可
（3）由=，结合从而得证
解答：证明：（1）由a＞b＞c，a+b+c=0可知a＞0，c＜0，b=-a-c
由a＞b得   即
∴，且 …（4分）
（2）由f（x）=g（x） 得ax²+2bx+c=0 
∵△=4b²-4ac=4[（a+c）²-ac]=
故有两个不同交点                                   …（8分）
（3）∵
=
=
=
=
=
又  从而得证                  …（12分）
点评：本题主要考查了二次函数与二次方程的基本关系的应用，二次方程的根的个数的判断，直线与曲线相交弦长公式的应用．