Question

（2011•滨州一模）已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，且S₅=35，a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a 2n，记该数列{b_n}的前n项和为T_n，当T_n≤n+12时，求n值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差的值，代入通项公式化简；
（Ⅱ）由（I）求出b_n，再代入T_n，利用分组求和法和等比数列的前n项和公式化简，代入T_n≤n+12求出n的范围，再求出正整数的值．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，

5a1+ 5×4 2 d=35 (a1+3d)2=a1(a1+12d)

，解得

a1=3 d=2

，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
（Ⅱ）由已知得，b_n=a2n=2ⁿ⁺¹+1，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2²+2³+…+2ⁿ⁺¹）+n
=

4(1-2n)

1-2

+n
=2ⁿ⁺²+n-4，
若T_n≤n+12，即2ⁿ⁺²+n-4≤n+12，
∴2ⁿ⁺²≤16，即n+2≤4，解得n≤2，
又∵n是正整数，∴n=1，2．

点评：本题考查了等差（等比）数列的通项公式和前n项和公式，性质的灵活应用，以及分组求和法，属于中档题．