Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）ex﹣ x2 ， 其中a∈R，e为自然对数的底数
（Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数y=f（x）+2x在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x﹣2）ex﹣ x2，

∴f′（x）=（x﹣1）ex﹣ax，

假设函数f（x）的图象与x轴相切于点（t，0），

则有： ，即 ，

由②知at=（t﹣1）et，代入①中，得（t﹣2）et﹣ =0，

∵et＞0，∴（t﹣2）﹣ =0，即t2﹣3t+4=0，

∵△=9﹣16=﹣7＜0，

∴方程t2﹣3t+4=0无解，

∴无论a取何值，函数f（x）的图象都不与x轴相切．

（Ⅱ）记g（x）=（x﹣2）ex﹣ +2≥0在R上恒成立，由g′（1）=﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，

若a=2，则g′（x）=（x﹣1）ex﹣2x+2=（x﹣1）（ex﹣2），当ln2＜x＜1时，g′（x）＜0，故a＜2．

下面证明：当a=1时，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立．

令h（x）=（x﹣1）ex﹣x+2，则h′（x）=xex﹣1，记H（x）=xex﹣1，则H′（x）=（x+1）ex，

当x＞﹣1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增且H（x）＞﹣ ，当x＜﹣1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减，且﹣ H（x）＜0，

∵H（ ）= ﹣1＜0，H（1）=e﹣1＞0，∴存在唯一的 ，使得H（x0）=0，且当x∈（﹣∞，x0）时，H（x）＞0，

h（x）单调递减，

当x∈（x0，+∞）时，H（x）＜0，h（x）单调递增，

∴h（x）min=h（x0）=（x0﹣1） ﹣x0+2，∵H（x0）=0，∴ ，

∴h（x0）=（x0﹣1） =3﹣（ ），∵ ，∴2＜ ＜ ，∴h（x）min=h（x0）＞0，

∴（x﹣1）ex﹣x﹣2≥0恒成立，

∴a能取得的最大整数为1．

【解析】1、由题意可得f′（x）=（x﹣1）ex﹣ax，假设函数f（x）的图象与x轴相切于点（t，0）则有,无论a取何值，函数f（x）的图象都不与x轴相切.
2、由g′（1）=﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，若a=2，则g′（x）=（x﹣1）ex﹣2x+2=（x﹣1）（ex﹣2），当ln2＜x＜1时，g′（x）＜0，故a＜2．当a=1时，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立，由题意得证h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，H（x）＜0，h（x）单调递增，∴h（x）min=h（x0）=（x0﹣1） e x0﹣x0+2，∵H（x0）=0，∴（x﹣1）ex﹣x﹣2≥0恒成立，∴a能取得的最大整数为1．