Question

【题目】已知函数，函数在点处的切线斜率为0.

（1）试用含有的式子表示，并讨论的单调性；

（2）对于函数图象上的不同两点，，如果在函数图象上存在点，使得在点处的切线，则称存在“跟随切线”.特别地，当时，又称存在“中值跟随切线”.试问：函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”，若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1），单调性见解析；（2）不存在，理由见解析

【解析】

（1）由题意得，即可得；求出函数的导数，再根据、、、分类讨论，分别求出、的解集即可得解；

（2）假设满足条件的、存在，不妨设，且，由题意得可得，令（），构造函数（），求导后证明即可得解.

（1）由题可得函数的定义域为且，

由，整理得.

.

（ⅰ）当时，易知，，时.

故在上单调递增，在上单调递减.

（ⅱ）当时，令，解得或，则

①当，即时，在上恒成立，则在上递增.

②当，即时，当时，；

当时，.

所以在上单调递增，单调递减，单调递增.

③当，即时，当时，；当时，.

所以在上单调递增，单调递减，单调递增.

综上，当时，在上单调递增，在单调递减.

当时，在及上单调递增；在上单调递减.

当时，在上递增.

当时，在及上单调递增；在上递减.

（2）满足条件的、不存在，理由如下：

假设满足条件的、存在，不妨设，且，

则，

又，

由题可知，整理可得：，

令（），构造函数（）.

则，

所以在上单调递增，从而，

所以方程无解，即无解.

综上，满足条件的A、B不存在.