Question

【题目】如图，四棱锥，平面，且，底面为直角梯形，，，，，，，、分别为、的中点，平面与的交点为.

（1）求的长度；

（2）求截面的底面所成二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）

【解析】

（1）取的中点，联结. 则.

再取的中点即为点，由，故.

所以，、、、四点共面，平面与的交点即为的四等分点.

因此，.

（2）易证平面底面. 于是，截面与平面所成的二面角即为截面与底面所成的二面角.

因为平面，所以，平面.

过作，垂足为，联结.

则由三垂线定理可得.

因此，为截面与平面所成二面角的平面角.

在中，，，.

故.

所以，.

因此，.

（3）因为的中点为，且平面与交于点，所以，点到平面的距离是点到平面的距离的3倍.

由（2）知平面. 则平面平面且交线为.

作，垂足为.

则平面，为点到平面的距离.

在中，，.

故.

因此，点到平面的距离为.