Question

在直角坐标平面上给定一曲线y²=2x.

（1）设点A的坐标为（，0）,求曲线上距点A最近的点P之坐标及相应的距离|PA|；

（2）设点A的坐标为（a,0）a∈R,求曲线上的点到点A距离的最小值d，并写出d=?f（a）的?函数表达式.

Answer 1

解：（1）设M（x,y）为曲线y²=2x上任意一点，则|MA|²=（x-）²+y²=x²+x+=（x+）²+.

因为x∈［0,+∞）,?

所以当x=0时，|MA|²_min=（）²+=，?

即|MA|_min=23.?

所以距点A最近的点P坐标为（0，0），这时|PA|=.

（2）依题设得，

d²=（x-a）²+y²=x²-2ax+a²+2x?

=x²-2（a-1）x+a²?

=［x-（a-1）］²+（2a-1），?

因为x∈［0,+∞）,?

所以分a-1≥0和a-1＜0两种情况讨论.?

当a≥1时，d_min²=2a-1,?

即d_min=；?

当a＜1时，d_min²=［0-（a-1）］²+（2a-1）=a²,

即d_min=|a|，这时恰好抛物线顶点（0，0）与点A（a,0）最近.?

所以d=f（a）=