Question

3．已知（x+1）（x-2）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰，则a₈=（　　）

• A． 18
• B． 36
• C． 135
• D． 144

Answer 1

分析 由（x+1）（x-2）⁹=（x-1+2）（x-1-1）⁹，令x-1=t，于是（x+1）（x-2）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰，变为：（t+2）（t-1）⁹=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₀t¹⁰，利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：由（x+1）（x-2）⁹=（x-1+2）（x-1-1）⁹，
令x-1=t，则（x+1）（x-2）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a₁₀（x-1）¹⁰，变为：（t+2）（t-1）⁹=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₁₀t¹⁰，
（t-1）⁹的展开式的通项公式：T_r+1=${∁}_{9}^{r}$（-1）^9-rt^r，
令r=7，或r=8．
则a₈=${∁}_{9}^{7}$（-1）²•1+${∁}_{9}^{8}$×（-1）×2=18．
故选：A．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．