Question

7．数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁=1，a₂=6，S_n=3S_n-1-2S_n-2+2ⁿ（n≥3）．
（1）求证：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}（n∈N^*）是等差数列；
（2）求{a_n}前n项和S_n．

Answer 1

分析 由数列递推式变形得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）-1，即a_n+1=2a_n-1（n≥2），（1）由已知条件（n-1），从而得到an=n•2n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n

解答 解：（1）∵S_n=3S_n-1-2S_n-2+2ⁿ，
∴S_n-S_n-1=2（S_n-1-S_n-2）+2ⁿ，即a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥3），
所以$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+1，
又a₁=1，a₂=6，满足上式，
所以{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}（n∈N^*）是等差数列；
（2）由（1）得到$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=n-\frac{1}{2}$，所以a_n=${2}^{n}（n-\frac{1}{2}）$（n∈N^*），
所以前n项和S_n=${2}^{1}（1-\frac{1}{2}）+{2}^{2}（2-\frac{1}{2}）+{2}^{3}（3-\frac{1}{2}）+…+{2}^{n}$（n-$\frac{1}{2}）$，①
2S_n=${2}^{2}（1-\frac{1}{2}）+{2}^{3}（2-\frac{1}{2}）+…+{2}^{n}（n-1-\frac{1}{2}）$+${2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$，②
①-②得-S_n=2（1-$\frac{1}{2}$）+2²+2³+…+2ⁿ-${2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-{2}^{n+1}（n-\frac{1}{2}）$-1=${2}^{n+1}（\frac{3}{2}-n）-3$，
所以S_n=3-${2}^{n+1}（\frac{3}{2}-n）$．

点评 本题考查了数列递推式，本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．