Question

已知椭圆：．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，知2a=4，2c=2，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等．当P在y轴上时，R在x轴上，PR方程为，．当P在x轴上时，R在y轴上，PR方程为，．当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、，P在椭圆上，，R在椭圆上，．利用Rt△POR得d|PR|=|OP|•|OR|，由此得．故当d=1时，有．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为和，
∴2a=4，a=2，2c=2，c=，
∴椭圆的方程：
（Ⅱ）由椭圆的对称性知：PRQS为菱形，原点O到各边距离相等
（1）当P在y轴上时，易知R在x轴上，此时PR方程为，d=1⇒．
（2）当P在x轴上时，易知R在y轴上，此时PR方程为，d=1⇒．
（3）当P不在坐标轴上时，设PQ斜率为k，P（x₁，kx₁）、
P在椭圆上，①；
R在椭圆上，②
利用Rt△POR可得 d|PR|=|OP|•|OR|
即
整理得 ．再将①②代入，得
综上当d=1时，有．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意分类讨论思想的合理运用．