Question

已知函数f（x）=（a，b∈R）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-2．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由求导公式和法则求出f′（x），再根据已知的切线方程，求出切线的斜率和切点的纵坐标，再列出方程求出a、b的值，代入解析式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f′（x），求出f′（x）≥0的解集，即函数的增区间，再由条件列出等价方程，求出m的范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，，
∵函数在（-1，f（-1））处切线为y=-2，
∴，即
解得
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
由f′（x）≥0得，-1≤x≤1，即f（x）的单调增区间是[-1，1]．
∵f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增，
∴，解得-1＜m≤0．
∴当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．
点评：本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线的斜率是该点处的导数值，切点在曲线上和切线上的应用，以及导数与函数单调性的关系，属于中档题．