Question

（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，求平面与平面所成的锐角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

（Ⅰ）证明：取的中点，连接，
在三棱柱中，所有棱长都为2，
则，所以平面
而平面，故
（Ⅱ）当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.设平面与平面的交线为，
在三棱柱中，，平面，则，
过点作交于点，连接.由，知平面，
则，故为平面与平面所成二面角的平面角。
在中，,则
在中，，,
即平面与平面所成锐角的余弦值为。
方法2：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.
由得，设平面的一个法向量为
而，则，取
而平面，则平面的一个法向量为
于是，
故平面与平面所成锐角的余弦值为。