Question

已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）求f（log

1

2

24）．

Answer 1

（1）令x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，∴f（-x）=2^-x-1．
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2^-x-1，
∴f（x）=-（

1

2

)^x+1．
（2）∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵log

1

2

24=-log₂24∈（-5，-4），∴log

1

2

24+4∈（-1，0），
∴f（log

1

2

24）=f（log

1

2

24+4）=-（

1

2

)^log

1

2

24+4+1=-24×

1

16

+1=-

1

2

．