Question

（2005•海淀区二模）设双曲线：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，其相应的焦点为F，若∠AFB=90°，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：根据双曲线的渐近线方程和准线方程公式，算出右准线交渐近线于A（

a2

c

，

ab

c

）、B（

a2

c

，

ab

c

）．根据△AFB为等腰直角三角形，建立关于a、b、c的方程，化简算出a=b，从而得到双曲线的离心率e=

2

．

解答：解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的准线方程为x=±

a2

c

，渐近线方程为y=±

b

a

x，
∴以右准线为例，求得它与两条渐近线交于A、B两点，
得A（

a2

c

，

ab

c

），B（

a2

c

，

ab

c

）
∵∠AFB=90°，可得△AFB为等腰直角三角形
∴c-

a2

c

=

ab

c

，即

c2-a2

c

=

ab

c

，化简得a=b
因此，c=

a2+b2

=

2

a，双曲线的离心率e=

c

a

=

2

故答案为：

2

点评：本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了三角形的形状判断、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．