题目内容
已知曲线C1：
（t为参数），C2：
（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C1上的点P对应的参数为t=
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C1：
（t为参数）距离的最小值．
【答案】分析：（1）分别消去两曲线参数方程中的参数得到两曲线的普通方程，即可得到曲线C1表示一个圆；曲线C2表示一个椭圆；
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
解答：解：（1）把曲线C1：
（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y-3）2=1，
所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；
把C2：
（θ为参数）化为普通方程得：
+
=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；
（2）把t=
代入到曲线C1的参数方程得：P（-4，4），
把直线C3：
（t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，
设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+
sinθ）
所以M到直线的距离d=
=
，（其中sinα=
，cosα=
）
从而当cosθ=
，sinθ=-
时，d取得最小值
．
点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
（2）把t的值代入曲线C1的参数方程得点P的坐标，然后把直线的参数方程化为普通方程，根据曲线C2的参数方程设出Q的坐标，利用中点坐标公式表示出M的坐标，利用点到直线的距离公式表示出M到已知直线的距离，利用两角差的正弦函数公式化简后，利用正弦函数的值域即可得到距离的最小值．
解答：解：（1）把曲线C1：
（t为参数）化为普通方程得：（x+4）2+（y-3）2=1，所以此曲线表示的曲线为圆心（-4，3），半径1的圆；
把C2：
（θ为参数）化为普通方程得：+=1，所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴为8，短半轴为3的椭圆；（2）把t=
代入到曲线C1的参数方程得：P（-4，4），把直线C3：
（t为参数）化为普通方程得：x-2y-7=0，设Q的坐标为Q（8cosθ，3sinθ），故M（-2+4cosθ，2+
sinθ）所以M到直线的距离d=
=，（其中sinα=，cosα=）从而当cosθ=
，sinθ=-时，d取得最小值．点评：此题考查学生理解并运用直线和圆的参数方程解决数学问题，灵活运用点到直线的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．
练习册系列答案
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（t为参数），C2：
（θ为参数）。
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：
（t为参数）距离的最小值。
（t为参数）与曲线C2：
（θ为参数，a＞0 ） 有一个公共点在X轴上，则a等于 ．
（t为参数），C2：
（θ为参数）．
，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x-2y-7=0距离的最小值．
（t为参数）与曲线C2：
（θ为参数，a＞0 ） 有一个公共点在X轴上，则a等于 ．