Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
①确定函数的解析式；
②用单调性的定义，证明f（x）在（0，1）上是增函数．

Answer 1

分析：①由函数f（x）是奇函数可得f（0）=0可求b，由f(

1

2

)=

2

5

可求a，进而可求f（x）
②由①可得f(x)=

x

x2+1

，利用单调性的定义设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

，结合0＜x₁＜x₂＜1，判断f（x₁）与f（x₂）的大小即可

解答：解：①∵函数f(x)=

ax+b

x2+1

在（-1，1）上是奇函数
∴f（0）=0
∴b=0…（2分）
又∵f(

1

2

)=

2

5

，解得a=1…（2分）
∴f(x)=

x

x2+1

…（2分）
②关于f(x)=

x

x2+1

在（0，1）上是增函数的证明如下：
设0＜x₁＜x₂＜1，则                  …（1分）
f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

…（2分）
∵0＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，（x₁²+1）（x₂²+1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0则f（x₁）＜f（x₂）…（2分）
∴f(x)=

x

x2+1

在（0，1）上是增函数．…（1分）

点评：本题主要考查了奇函数的性质的应用，f（0）=0，利用该条件可以简化基本运算，函数单调性的定义的应用．