Question

已知M是以点C为圆心的圆（x+1）²+y²=8上的动点，定点D（1，0）．点P在DM上，点N在CM上，且满足．动点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）线段AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由．知NP为DM的垂直平分线，所以|ND|=|NM|，动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为的椭圆．由此能求出轨迹E的方程．
（Ⅱ）线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+b，由，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再由根与系数的关系进行求解．
解答：解：（Ⅰ）∵=0．
∴NP为DM的垂直平分线，∴|ND|=|NM|，
又∵|CN|+|NM|=2，∴|CN|+|DN|=2＞2．（3分）
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），D（1，0）为焦点的长轴为2的椭圆．
∴轨迹E的方程为=1．（5分）
（Ⅱ）∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，故可设直线AB的方程为y=kx+b，
由，
消去y，并整理，得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-，x₁x₂=（8分）
∵|AB|=2，∴=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴，
∴，（11分）
∵1+k²≥1∴＜1． （12分）
又点O到直线AB的距离h=，
∴S=|AB|•h=h
∴S²=h²=2b²（1-b²）=（13分）
∴0＜S²≤，∴0＜S≤．（14分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．