Question

已知

m

=(2cosx+2

3

sinx，1)，

n

=(cosx，-y)，满足

m

•

n

=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C对应的边长，若f(

A

2

)=3，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算、倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的图象与性质即可得出；
（2）利用正弦函数的单调性可得A，再利用余弦定理和基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）由

m

•

n

=0得2cos2x+2

3

sinxcosx-y=0，
即y=2cos2x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1
∴f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1，
其最小正周期为π，单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，
（2）∵f(

A

2

)=3，∴2sin(2x+

π

6

)+1=3，∴sin(A+

π

6

)=1，∴A+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）．
∵A为三角形内角，∴A=

π

3

．
∵a2=b2+c2-2bccos

π

3

，
∴4=（b+c）²-3bc，
∵bc≤

(b+c)2

4

，∴4≥(b+c)2-

(b+c)2

4

，（b+c）²≤16，
∴b+c≤4．
又b+c＞2，∴b+c的取值范围为（2，4]．

点评：熟练掌握数量积运算、倍角公式、两角和的正弦公式、正弦函数的图象与性质、余弦定理和基本不等式的性质是解题的关键．