Question

（2010•黄冈模拟）已知等比数列{a_n}中，a₁=a，a₂=b，a₃=c，a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且cosB=

3

4

．
（1）求数列{a_n}的公比q；
（2）设集合A={x∈N|x²＜2|x|}，且a₁∈A，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由等比数列的性质得出a，b及c的关系式，根据余弦定理表示出cosB，把得出的关系式代入化简后，由已知cosB的值，再根据等比数列的性质得到

c

a

=q²，可列出关于公比q的方程，求出方程的解得到q的值；
（2）把集合A中的不等式左右两边平方，整理后，右边化为0，左边分解因式，转化为一个一元二次不等式，求出不等式的解集，在解集中找出正整数解，确定出集合A，进而确定出a₁的值，由（1）求出的公比q的值，写出等比数列的通项公式即可．

解答：解：（1）依题意知：b²=ac，
由余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

×（

a

c

+

c

a

）-

1

2

=

3

4

，（3分）
而

c

a

=q²，代入上式得q²=2或q²=

1

2

，
又在三角形中a，b，c＞0，
∴q=

2

或q=

2

2

；（6分）
（2）∵x²＜2|x|，∴x⁴-4x²＜0，
即x²（x²-4）＜0，∴-2＜x＜2且x≠0，（8分）
又x∈N，所以A={1}，
∴a₁=1，a_n=(

2)

n-1或a_n=(

2

2

)n-1（10分）

点评：此题考查了等比数列的通项公式，等比数列的性质，余弦定理，以及其他不等式的解法，利用了转化的思想，是高考中常考的题型，数列掌握公式及定理是解本题的关键．