Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，增区间为，当时，递增区间为，减区间为；（2）.

【解析】分析：（1）求导可得，分和两种情况讨论可得函数的单调区间．（2）由题意得，且在上恒成立，，令，则，然后再根据的范围分类讨论可得所求范围．

详解：（1）∵，

∴．

①当时，则，所以在上单调递增；

②当时，则由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）由题意得，

∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，

∴在上恒成立．

设，

则.

令，

则，

①若，则，故在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

从而，不符合题意．

②若，当时，，在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴,

从而在上，不符合题意；

③若，则在上恒成立，

∴在上单调递减，

∴，

∴在上单调递减，

∴，

从而恒成立．

综上可得实数的取值范围是.