题目内容

已知数列{a_n}，{b_n}是各项均为正数的等比数列，设c_n= $数学公式$ ，n∈N^*
（Ⅰ）证明：数列{c_n}是等比数列，数列{lna_n}是等差数列．
（Ⅱ）设数列{lna_n}，{lnb_n}的前n项和分别是S_n，T_n．若a₁=2， $数学公式$ = $数学公式$ ，求数列{c_n}的通项公式．
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，设d_n= $数学公式$ ，求数列{d_n}的前n项和．

解：（1）设数列{a_n}、b_n的公比分别为p、q（p＞0，q＞0），
则由题意可得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，c₁=a₁•b₁
所以数列c_n以a₁•b₁为首项，以pq为公比的等比数列
又因为 $\text{[math]}$ ，
数列lna_n以lna₁为首项，以lnp为公差的等差数列
（2）由题意可得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴p=4，q=16，b₁=8
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1，b_n=8•16^n-1=2^4n-1
（III）由（II）可得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
∴d₁+d₂+d₃+…+d_n
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
分析：（I）根据已知条件可设 $\text{[math]}$ ，要证明数列c_n为等比数列只要证明 $\text{[math]}$ ；要证数列lna_n为等差数列，只要证 $\text{[math]}$ 为常数
（II）利用（I）的条件可知数列lna_nlnb_n都为等差数列，代入等差数列的和公式整理可得 $\text{[math]}$ ，根据对应项相等可得p、q、b₁，进而求出a_n，b_n
（III）代入（II）中的条件整理可得 $\text{[math]}$ ，用裂项求和的方法可得结果．
点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的定义及判定，考查了等差数列前n项和公式的理解和运用及数列求和中的裂项求和的方法，裂项后要注意相消的项及余下的项的规律．