Question

在数列a_n中，a1=1，an+1=1-

1

4an

，bn=

1

2an-1

，其中n∈N^*．
（1）求证：数列b_n为等差数列；
（2）设cn=2bn，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，说明理由．
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，求满足等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn的所有n的值．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的性质，b_n+1-b_n为一个常数即可；
（2）设cn=2bn，试问数列c_n中是否存在三项，它们可以构成等差数列，然后根据等差数列的性质，进行验证；
（3）已知当n∈N^*且n≥6时，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，其中m=1，2，…n，等式3n+4n+…+(n+2)n=(bn+3)bn进行化简可化为3ⁿ+4ⁿ++（n+2）ⁿ=（n+3）n，然后进行放缩求解；

解答：解：（1）∵bn+1-bn=

1

2an+1-1

-

1

2an-1

=

1

2- 1 2an -1

-

1

2an-1

=1
∴数列b_n为等差数列4；
（2）解：假设数列c_n中存在三项，它们可以构成等差数列；不妨设为第p，r，q（p＜r＜q）项，
由（1）得b_n=n，
∴c_n=2ⁿ，
∴2•2^r=2^p+2^q，
∴2^r+1-p=1+2^q-p
又2^r+1-p为偶数，1+2^q-p为奇数．
故不存在这样的三项，满足条件．
（3）由（2）得等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn
可化为3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ
即(

3

n+3

)n+(

4

n+3

)n++(

n+2

n+3

)n=1
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n=1
∵当n≥6时，(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，
∴(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，(1-

2

n+3

)n＜(

1

2

)2，(1-

n

n+3

)n＜(

1

2

)n，
∴(1-

n

n+3

)n+(1-

n-1

n+3

)n++(1-

1

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n＜1
∴当n≥6时，3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ
当n=1，2，3，4，5时，
经验算n=2，3时等号成立
∴满足等式3n+4n++(n+2)n=(bn+3)bn的所有n=2，3；

点评：此题考等差数列的性质，前两问比较简单，第三问难度比较大，放缩时技巧性比较强，不等式与数列的综合题是高考的热点问题，也是压轴题；