Question

【题目】如图，海上有、两个小岛相距，船将保持观望岛和岛所成的视角为，现从船上派下一只小艇沿方向驶至处进行作业，且．设．

（1）用分别表示和，并求出的取值范围；

（2）0晚上小艇在处发出一道强烈的光线照射岛，岛至光线的距离为，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1),,；(2).

【解析】

试题分析：(1)中利用两个余弦定理得到两个式子，分别作和和差即可得到和关于的表达式，考虑及得到的取值范围；（2）中首先求出关于的表达式，求出导数继而判断增减性，最后求出最大值．

试题解析：⑴在中，，，

由余弦定理得，，

又，所以①…………1分

在中，，

由余弦定理得，

②………………………………3分

得，

得，即，……4分

又，所以，即，

又，即，所以…………6分

⑵易知，

故………………8分

又，设，

所以，，……………………9分

又，………………………………………… 10分

则在上是增函数，

所以的最大值为，即的最大值为．………………12分

（利用单调性定义证明在上是增函数，同样给满分；如果直接说出在上是增函数，但未给出证明，扣分．