Question

已知a₁=3，a₂=6，a_n+2=a_n+1-a_n，则a₄₀=

-3

．

Answer 1

分析：自然想法令n=1，2，3，…逐步求得a₃，a₄，a₅，…a₄₀，可求得结果，如此反复运算中应具有某种变化规律，会使题目的立意更高，因此应适当考虑数列的周期性．

解答：解：∵a₁=3，a₂=6，a_n+2=a_n+1-a_n，
∴令n=1得a₃=a₂-a₁=3
令n=2得a₄=a₃-a₂=-3
令n=3得a₅=a₄-a₃=-6
令n=4得a₆=a₅-a₄=-3
令n=5得a₇=a₆-a₅=3=a₁
令n=6得a₈=a₇-a₆=6=a₂，
…
从第六项起，项值依次轮流重复出现，周期为6
所以a₄₀=a_6×6+4=a₄=-3
故答案为：-3

点评：本题考查数列的递推公式的应用，求某项的值，在计算过程中，得出周期为6是解决问题的关键．