Question

已知f (x)是R→R⁺的函数，且f (x+y)=f (x)·f (y) (x、y∈R)．

(1) 求f (0)；

(2) 求f (x)与f (－x)的关系；

(3) 证明是奇函数．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：令x=0，y=0，则f (0)=[f (0)]2 ∴ f (0)=0或f (0)=1． ∵ 函数f (x)的值域为R+，∴ f (0)=0应舍去，故f (0)=1． (2) 解：令y=－x，则f (x－x)=f (x)·f (－x)，即f (0)= f (x)·f (－x)，∴ f (x)·f (－x)=1． (3) 证：函数 g (x)的定义域是f (x)≠1的x值，设为A．则对任意x∈A，则f (－x)≠1，否则(2)不成立．因而－x∈A，于是有 ． ∴ 函数 g (x)是奇函数．